UJIAN MATEMATIKA FISIKA II (DEPAG)

VEKTOR DAN ANALISIS VEKTOR (AHMAD ISNAINI/0802819)
1. Diketahui vektor A, B, dan C memiliki panjang vektor yang sama. Jika arah ketiga vektor tersebut adalah dan tentukan A – B + 2C



Jadi A – B + 2C


2. Diketahui bahwa A = i + j – 2k, B = 2i – j + 3k, dan C = j -5k, maka tentukan a. (A.B)C
b. (AxB).C c. Ax(BxC)
pembahasan:
a. (A.B)C = (i + j – 2k).(2i – j + 3k)(j -5k) = (2 – 1 – 6) (j – 5k) = -5j + 25k
b. , maka
(AxB).C = (i – 7j – 3k). (j – 5k) = -7 + 15 = 8
c. Ax(BxC) = (A.C)B - (A.B)C, A.C = (i + j - 2k).(j – 5k) = 1 + 10 = 11, jadi

atau

Selanjutnya diselesaikan


3. Sebuah plat logam memiliki distribusi temperature menurut persamaan T = xy – x, maka turunan arah dari T pada titik (1,1) dalam arah vektor A = 3i – 4j
Pembahasan:
T = xy – x dan , maka
, pada titik (1,1) menjadi
Jadi turunan arahnya adalah

4. Diketahui vektor A = 4yi + xj + 2zk, maka dengan lintasan kurva berbentuk lingkaran yang membatasi permukaan x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0 (dengan teorema Stokes)
Pembahasan:
, karena z = 0, maka
, dan karena berbentuk bola maka
x = r cos φ, dx = -r sinφ dφ dan y = r sin φ, dy = r cos φ dφ

dengan substitusi nilai x dan y diperoleh

, karena , maka

karena r = 2, maka

5. Diketahui gaya F1 = -2yi + (z-2x)j + (y+z)k, dan F2 = yi +2xj, tentukan
a. Tentukan gaya mana yang konservatif
b. Tentukan fungsi potensial sehingga berlaku
c. Tentukan usaha yang dilakukan gaya-gaya tersebut untuk memindahkan partikel dari titik (0,1,0) ke titik (0,2,5)
Pembahasan:
a. Syarat gaya konservatif adalah , jadi untuk masing-masing gaya dapat dicari
Untuk F1 = -2yi + (z-2x)j + (y+z)k

Jadi F1 konservatif
Selanjutnya F2 = yi +2xj

Jadi F2 bukan gaya konservatif

b. Untuk fungsi potensial berlaku apabila gayanya konservatif
dw = F1. dr = (-2yi + (z-2x)j + (y+z)k)(idx + jdy + kdz)
,misalkan lintasannya dari (0,0,0), (x,0,0), (x,y,0) (x,y,z)
untuk x = dx, y = 0, dan z =0
untuk x ada, dx= 0, y = dy, z =0
untuk dx = dy = 0, dan z = dz
Jadi fungsi energi potensialnya adalah W1 + W2 + W3 = 2x – (y+z) karena ø = -W

c. Usaha yang dilakukan untuk memindahkan partikel tersebut dengan gaya F2, maka lintasannya berupa
dw = F2. dr = (yi + 2xj)(idx + jdy)
dari (0,1,0) ke (0,2,0) dx = 0